已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（v），
（1）求f（0）．
（2）判断函数的奇偶性，并证明之．

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）；
（2）f（x）是奇函数，证明时令y=-x，可得到f（x）+f（-x）=0，从而可证f（x）是奇函数．

解答：（1）解：取x=y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0…（2分）
（2）f（x）是奇函数…（4分）
证明：对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x）…（10分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查奇偶性的判断，着重考查赋值法的应用，属于中档题．

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相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

已知a、b∈R，向量

=（x，1），

=（-1，b-x），函数f（x）=a-

是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

科目：高中数学 来源： 题型：

24、已知下表为定义域为R的函数f（x）=ax³+cx+d若干自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．

x	3.27	1.57	-0.61	-0.59	0.26	0.42	-0.35	-0.56	0	4.25
y	-101.63	-10.04	0.07	0.03	0.21	0.20	-0.22	-0.03	0	-226.05

根据表中数据解答下列问题：
（1）函数y=f（x）在区间[0.55，0.6]上是否存在零点，写出判断并说明理由；
（2）证明：函数y=f（x）在区间（-∞，-0.35]单调递减．

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

已知a、b∈R，向量 $数学公式$ =（x，1）， $数学公式$ =（-1，b-x），函数f（x）=a- $数学公式$ 是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

科目：高中数学 来源：2008年11月北京市北大附中高中高一（上）课改数学模块水平监测（必修1）（解析版） 题型：解答题

已知下表为定义域为R的函数f（x）=ax³+cx+d若干自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．

x	3.27	1.57	-0.61	-0.59	0.26	0.42	-0.35	-0.56		4.25
y	-101.63	-10.04	0.07	0.03	0.21	0.20	-0.22	-0.03		-226.05

科目：高中数学 来源：2011年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版） 题型：解答题

已知a、b∈R，向量

=（x，1），

=（-1，b-x），函数f（x）=a-

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已知a、b∈R，向量=（x，1），=（-1，b-x），函数f（x）=a-是偶函数．（1）求b的值；（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．