Question

已知a，b∈R，矩阵A=

-1 a b 3

所对应的变换T_A将直线2x-y-3=0变换为自身．
（1）求实数a，b的值；
（2）计算A2

-1 3

．

Answer 1

分析：（1）首先分析题目已知A=

-1 a b 3

所对应的变换T_A把直线：2x-y-3=0变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b；
（2）由（1）即可得到矩阵M，再根据矩阵的乘法运算求出A2

-1 3

即可．

解答：解：（1）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换T_A的作用下变成点P'（x'，y'），
由题意知2x'-y'-3=0，由

-1 a b 3

x y

=

x′ y′

得x'=-x+ay，y'=bx+3y，…（2分）
代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，
即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，
由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，
解得a=1，b=-4．         …（5分）
（2）由（1）得A²=

-1 1 -4 3

-1 1 -4 3

=

-3 2 -8 5

，…（7分）
则A2

-1 3

=

-3 2 -8 5

-1 3

=

9 23

．                     …（10分）

点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．