Question

设数列{a_n}的首项a₁=a≠

1

4

，且a_n+1=

1 2 an(n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，记b_n=a_2n-1-

1

4

（n=1，2，3…）．
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n}的首项a₁=a≠

1

4

，且a_n+1=

1 2 an(n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，代入计算，可求a₂，a₃；
（2）计算数列{b_n}的前几项，猜想数列{b_n}是等比数列，再利用递推式进行证明即可．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的首项a₁=a≠

1

4

，且a_n+1=

1 2 an(n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，
∴a₂=a+

1

4

，a₃=

1

2

a₂=

1

2

a+

1

8

；
（2）a₄=

1

2

a+

3

8

，a₅=

1

4

a+

3

16

，
∴b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

a-

1

8

，b₃=a₅-

1

4

=

1

4

a-

1

16

，
猜想数列{b_n}是以a-

1

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
证明如下：
b_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1+

1

4

）-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，
∴数列{b_n}是以a-

1

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．