Question

 （本题满分12）

如图,在三棱锥S-ABC中，ΔABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=,M,N分别为AB,SB的中点。

（Ⅰ）求异面直线AC与SB所成角；   （Ⅱ）求二面角 N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 _解：

_{（I）取AC 中点D，连结SD，DB。}

  _{因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,所以AC⊥平面SDB.}

_{又SB平面SDB,所以AC⊥SB.所以异面直线AC与SB所成角为90。…………4分}

_{（II）因为AC⊥平面SDB，AC平面ABC, 所以平面SDC⊥平面ABC.}

_{过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC,}

_{过E作EF⊥CM于F，连结NF,则NF⊥CM,}

_{所以∠NFE为二面角N-CM-B的平面角。}

_{因为平面SAC⊥平面ABC, SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC.}

_{又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD。}

_{由于SN=NB,所以NE=SD=,且ED=EB.}

_{在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=.}

_{在Rt△NEF中，tan∠NFE=}

_{所以二面角N-CM-B的大小是arctan.            ………………………………8分}

_{（III）在Rt△NEF中,NF=,所以,}

_.

_{设点B到平面CMN的距离为h,}

_{因为,NE⊥平面CMB,}

_{所以  则h=}

_{即点B到平面CMN的距离为。             ………………………………12分}