Question

过抛物线y²=4x的焦点作倾斜角为

3

4

π的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据倾斜角确定直线AB的方程，再与抛物线方程联立利用韦达定理确定A，B两点横坐标之和与横坐标之积，即纵坐标之和与纵坐标之积．最后根据两点间距离公式求得A、B两点间的距离．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0）
所作直线方程为y=tg

3π

4

(x-1)或y=1-x，
它与抛物线之二交点坐标由下面方程组
确定

y=1-x y2=4x

，
解得（1-x）²=4x，x²-6x+1=0
由根与系数关系，得x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
又解得y²=4（1-y），y²+4y-4=0，
y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4．
由两点间距离公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

但（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36-4=32，
（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16+16=32
∴d=

32+32

=8
故AB两点间距离为8．

点评：本题主要考查了抛物线与直线的关系问题．一般是把直线方程和抛物线方程联立，获得一元二次方程，再利用韦达定理来找到解决问题的突破口．