Question

【题目】已知数列{an}中，已知a1=1， ，
（1）求证数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若对一切n∈N* ， 等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立，求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，

得an+1+2anan+1=an，

即an﹣an+1=2anan+1

两边同除以anan+1，得， ，

又 ，

所以数列{ }是首项为1，公差为2的等差数列

（2）解：由（1） ，

所以数列{an}的通项公式

（3）解：因为对一切n∈N*，

有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n①

所以当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1=2n﹣1②

①﹣②得，当n≥2时，

anbn=2n﹣1，

又 ，

所以bn=（2n﹣1）2n﹣1

又n=1时，a1b1=21，a1=1，

所以b1=2；

综上得

【解析】（1）由 ，得an﹣an+1=2anan+1 ， 两边同除以anan+1得， ，由此能够证明数列{ }是等差数列．（2）由 ，知 ．（3）因为对一切n∈N* ， 有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n ， 当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1=2n﹣1 ， 当n≥2时，anbn=2n﹣1 ， 又 ，所以bn=（2n﹣1）2n﹣1 ， 由此能够求出数列{bn}的通项公式．
【考点精析】关于本题考查的等差关系的确定和数列的前n项和，需要了解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．