Question

1．设A₁，A₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴的两个端点，P₁，P₂是垂直于x轴的直线与此椭圆的两个交点，M为直线A₁P₁与A₂P₂的交点，求证：点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 如图所示，设直线P₁P₂的方程为：x=m（-a＜m＜a）．把x=m代入椭圆方程可得：y=$±\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$．直线A₁P₁与A₂P₂的方程分别为：y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（m+a）}$（x+a），y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（a-m）}$（x-a），相乘消去m即可证明．

解答 证明：如图所示，
A₁（-a，0），A₂（a，0）．
设直线P₁P₂的方程为：x=m（-a＜m＜a）．
把x=m代入椭圆方程可得：y=$±\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$．
不妨取P₁$（m，\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a}）$，P₂$（m，-\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a}）$．
直线A₁P₁与A₂P₂的方程分别为：y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（m+a）}$（x+a），y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（a-m）}$（x-a），
相乘消去m化为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
∴点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线的交点轨迹，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．