Question

如图，P是双曲线上的动点，F₁、F₂是双曲线的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上的一点，且．有一同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂N的中点，得．类似地：P是椭圆上的动点，F₁、F₂是椭圆的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上的一点，且．则|OM|的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：椭圆与双曲线都是平面上到定点和定直线距离之比为定值的动点的轨迹，故它们的研究方法、性质都有相似之处，我们由题目中根据双曲线的性质，探究|OM|值方法，类比椭圆的性质，推断出椭圆中|OM|的取值范围．
解答：解：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂M的中点，
则|OM|=|NF₁|=a-|F₂M|
∵a-c＜|F₂M|＜a
∴0＜|OM|＜c=
∴|OM|的取值范围是
故选D．
点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．