Question

设F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

6m2

+

y2

2m2

=1（m＞0）的左、右焦点．
（I）当p∈C，且

pF1

•

pF

2=0，|

pF1

|•|

pF

2|=4时，求椭圆C的左、右焦点F₁、F₂的坐标．
（II）F₁、F₂是（I）中的椭圆的左、右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q作的切线QM（M为切点），使得|QF1|=

2

|QM|，求动点Q的轨迹．

Answer 1

分析：（I）由

PF1

•

PF2

=0，知PF₁²+PF₂²=16m²，由|

PF1

|•|

PF2

|=4，知（PF₁+PF₂）²-8=16m²，由此能求出椭圆C的左、右焦点F₁、F₂的坐标．
（II）设Q（x，y），连接QF₂及F₂M，由QM与⊙F₂的切线，知QM²=（x-1）²+y²-1．由|QF1|=

2

|QM|，知（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]．由此能求出动点Q的轨迹．

解答：解：（I）∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
∴PF₁²+PF₂²=16m²…（2分）
又∵|

PF1

|•|

PF2

|=4
∴（PF₁+PF₂）²-8=16m²…（4分）
∴m²=1…（6分）
∴F₁（-2，0）F₂（2，0）…（7分）
（II）Q（x，y）
连接QF₂及F₂M
∵QM与⊙F₂的切线
∴QM²=QF₂²-F₂M²…（9分）
∴QM²=（x-1）²+y²-1…（10分）
又∵|QF1|=

2

|QM|
∴|QF₁|²=2|QM|²…（12分）
∴（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]…（13分）
∴（x-6）²+y²=34…（15分）
∴动点Q的轨迹是以（6，0）为圆心，

34

为半径的圆…（16分）

点评：本题考查椭圆的左、右焦点坐标的求法和求动点的轨迹．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．