Question

对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中， 对自然数，规定为的阶差分数列，其中．
（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。
（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

Answer 1

（1）是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
（2），，，，猜想：
证明：数学归纳法。
（3）组合数性质证得，存在等差数列，，使得对一切自然都成 。

试题分析：（1）， 1分
∴是首项为4，公差为2的等差数列。            2分
                3分
∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
4分
（2），即，即，∴          6分
∵，∴，，，猜想：
7分
证明：ⅰ）当时，；
ⅱ）假设时，            8分
时， 结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，           10分
（3），即
.   ...11分
∵       13分
∴存在等差数列，，使得对一切自然都成  14分
点评：中档题，本题综合性较强，将数列、数学归纳法、二项式系数的性质、组合数公式等综合考查。利用“功能、猜想、证明”的方法，研究得到数列的特征，是常见题型。（3）小题利用二项式系数的性质及组合数公式，得到证明恒等式的目的。