Question

若函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a-1（a∈R）在区间[0，

π

2

]上有两个零点x₁，x₂（x₁≠x₂），则x₁+x₂-a的取值范围是（　　）

• A、（

  π

  3

  -1，

  π

  3

  +1）
• B、[

  π

  3

  ，

  π

  3

  +1）
• C、（

  2π

  3

  -1，

  2π

  3

  +1）
• D、[

  2π

  3

  ，

  2π

  3

  +1）

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据函数零点的定义、函数的图象的对称轴方程求得x₁+x₂=

π

3

．再根据y=2sin（2x+

π

6

）的图象和直线 y=1-a在区间[0，

π

2

]上有两个交点，正弦函数的定义域和值域求得a的范围，可得x₁+x₂-a的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a-1的周期为π，令2x+

π

6

=

π

2

，求得x=

π

6

，可得函数在y轴右侧的第一条对称轴方程为x=

π

6

．
由于函数的两个两个零点为x₁，x₂，∴x₁+x₂=2×

π

6

=

π

3

．
由函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a-1（a∈R）在区间[0，

π

2

]上有两个零点x₁，x₂（x₁≠x₂），
可得y=2sin（2x+

π

6

）的图象和直线 y=1-a在区间[0，

π

2

]上有两个交点．
由x∈区间[0，

π

2

]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，∴1≤1-a＜2，
求得-1＜a≤0，故0≤-a＜1，∴

π

3

≤x₁+x₂-a＜

π

3

+1，
故选：B．

点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，函数零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．