Question

12．函数f（x）对于任意的x∈R恒有f（x）＜f（x+1），那么（　　）

• A． f（x）是R上的增函数
• B． f（x）可能不存在单调的增区间
• C． f（x）不可能有单调减区间
• D． f（x）一定有单调增区间

Answer 1

分析 可举例子，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}&{x≤0.5}\\{x-0.4}&{x＞0.5}\end{array}\right.$，从而可以说明选项A，错误，同样可举例子说明B正确，C，D错误．

解答 解：A．比如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}&{x≤0.5}\\{x-0.4}&{x＞0.5}\end{array}\right.$，满足f（x）＜f（x+1）；但f（x）在R上没有单调性，∴该选项错误；
B．比如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{…}&{…}\\{0}&{0＜x≤0.5}\\{1}&{0.5＜x≤1}\\{2}&{1＜x≤1.5}\\{…}&{…}\end{array}\right.$，该函数不存在单调增区间；∴该选项正确；
C．比如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}&{x≤0.5}\\{\frac{1}{x}+1}&{0.5＜x≤1}\\{2x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$，f（x）存在单调减区间；∴该选项错误；
D．看选项B的例子中，f（x）不存在单调增区间；∴该选项错误．
故选：B．

点评 考查举反例从而说明一个说法错误的方法，同样可用一个例子可说明一个说法正确，以及一次函数的单调性，反比例函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及单调性的定义．