Question

1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$bcosC=\sqrt{2}acosB-ccosB$，
（1）求角B的值；
（2）设A=θ，求函数$f（θ）=2{sin^2}（{\frac{π}{4}+θ}）-\sqrt{3}cos2θ$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知得sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB，从而可求cosB，即可求得B．
（2）由（1）可求θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（θ）=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+1，由2θ-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的性质即可求得取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（2）锐角△ABC中，A+B=$\frac{3π}{4}$，∴θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），…（7分）
$f（θ）=2{sin^2}（{\frac{π}{4}+θ}）-\sqrt{3}cos2θ$=[1-cos（$\frac{π}{2}$+2θ）]-$\sqrt{3}$cos2θ
=（1+sin2θ）-$\sqrt{3}$cos2θ
=sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ+1=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+1．…9分
∵θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴2θ-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴2＜2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+1≤3．
所以：函数f（θ）的取值范围是（2，3]．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．