Question

6．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）点P在曲线C上，Q在直线l上，若$α=\frac{3}{4}π$，求线段|PQ|的最小值；
（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率k的范围．

Answer 1

分析 （1）点P在曲线C上，Q在直线l上，若$α=\frac{3}{4}π$，利用|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求线段|PQ|的最小值；
（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，当圆心到直线的距离等于半径时，即$\frac{|2-2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，即可求直线l的斜率k的范围．

解答 解：（1）$α=\frac{3}{4}π$时，易知直线l的方程为x+y-4=0，…（2分）
曲线C：$ρ=\sqrt{2}$的普通方程为x²+y²=2．…（3分）
由题意知|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
所以$|PQ{|_{min}}=\frac{|0+0-4|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$．…（5分）
（2）因为α=90°时，直线l与C没有交点，
所以直线l可化为普通方程为y-2=tanα（x-2），…（7分）
令k=tanα，即kx-y+2-2k=0，
当圆心到直线的距离等于半径时，即$\frac{|2-2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，
解得$k=2±\sqrt{3}$，此时它们相切，…（9分）
所以$k∈（2-\sqrt{3}，\;\;2+\sqrt{3}）$．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．