Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1（n∈N*），则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}$（3ⁿ⁺¹-2n-3）．

Answer 1

分析 可设a_n+1+t=3（a_n+t），求得t=$\frac{1}{2}$，运用等比数列的通项公式，可得数列{a_n}的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=3a_n+1，
可设a_n+1+t=3（a_n+t），
即a_n+1=3a_n+2t，可得2t=1，即t=$\frac{1}{2}$，
则a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
可得数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列，
即有a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
即a_n=$\frac{3}{2}$•3^n-1-$\frac{1}{2}$，
可得数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$（1+3+3²+…+3^n-1）-$\frac{1}{2}$n
=$\frac{3}{2}$•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{4}$（3ⁿ⁺¹-2n-3）．
故答案为：$\frac{1}{4}$（3ⁿ⁺¹-2n-3）．

点评 本题考查数列的求和方法：分组求和，同时考查构造等比数列求数列通项公式的方法，考查运算能力，属于中档题．