Question

已知A₁，A₂为椭圆

x2

4

+y²=1的左右顶点，在长轴A₁A₂上随机任取点M，过M作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，则使∠PA₁A₂＜45°的概率为（　　）

• A、

  4

  5

• B、

  7

  10

• C、

  3

  10

• D、

  1

  5

Answer 1

分析：当∠P′A₁A₂=45°时，直线A₁P′的方程为y=x+2，与椭圆的方程

x2

4

+y²=1联立，可求得P′在x轴上的射影M′的坐标为（-

6

5

，0），从而可求得使∠PA₁A₂＜45°的概率．

解答：解：当∠P′A₁A₂=45°时，直线A₁P′的方程为y=x+2，

与椭圆的方程

x2

4

+y²=1联立，

y=x+2 x2 4 +y2=1

，
消去y得：5x²+16x+12=0，即（x+2）（5x+6）=0，
解得x=-

6

5

或x=-2（舍去）．
∴当∠P′A₁A₂=45°时，点P′在x轴上的射影M′的坐标为（-

6

5

，0），
∴|A₁M′|=|-

6

5

+2|=

4

5

，
∴|A₂M′|=|A₁A₂|-|A₁M′|=4-

4

5

=

16

5

，
显然，当点M在x轴从点M′向右移动到A₂的过程中，椭圆上的对应点P从点P′移动到A₂，总满足∠PA₁A₂＜45°，
∴满足∠PA₁A₂＜45°的概率为P（M）=

|M′A2|

|A1A2|

=

16 5

4

=

4

5

．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线的方程与圆锥曲线的方程之间的关系，考查几何概型，属于中档题．