Question

设f（x）是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）的周期函数；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；从而可证明函数为周期函数；
（2）由[0，2]上的表达式先求[-2，0]上的表达式，再求[2，4]上的表达式；
（3）由周期性可化为f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（3））+f（0）+f（1）=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（-1））+f（0）+f（1），再由奇偶性求解．

解答： 解：（1）证明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；
故f（x）是以4为周期的周期函数；
（2）∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴x∈[-2，0]时，f（x）=2x+x²，
故当x∈[2，4]时，f（x）=f（x-4）
=2（x-4）+（x-4）²
=x²-6x+8；
（3）∵f（x）是以4为周期的周期函数；
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）
=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（3））+f（0）+f（1）
=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（-1））+f（0）+f（1）
=f（1）=2-1=1．

点评：本题考查了抽象函数的周期性与奇偶性的判断与应用，同时考查了函数解析式的求法，属于中档题．