Question

已知圆A：（x+1）²+y²=8，点B（1，0），D为圆上一动点，过BD上一点E作一条直线交AD于点S，且S点满足

SE

=

1

2

(

SD

+

SB

)，

SE

•

BD

=0，
（1）求点S的轨迹方程；
（2）若直线l的方程为：x=2，过B的直线与点S的轨迹相交于F、G两点，点P在l上，且PG∥x轴，求证：直线FP经过一定点，并求此定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题设知E为BD的中点，

SE

⊥

BD

，SD=SB，所以SA+SB=SA+SD=AD=2

2

＞AB=2，由此能够推导出S的轨迹方程．
（2）当FG⊥x轴时，由F(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，知P(2，-

2

2

)，直线APy=-

2

x+

3 2

2

过定M(

3

2

，0)；当FG与x轴不垂直时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（2，y₂），设直线FG方程为y=k（x-1）．然后分k=0和k≠0两种情况分别讨论．

解答：解：（1）∵

SE

=

1

2

(

SD

+

SB

)
∴E为BD的中点（1分）
∵

SE

•

BD

=0
∴

SE

⊥

BD

（2分）
∴SD=SB，
∴SA+SB=SA+SD=AD=2

2

＞AB=2
∴S的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（4分）
这里：2a=2

2

，a=

2

，c=1∴b²=a²-c²=1
∴S的轨迹方程为：

x2

2

+y2=1（5分）
（2）①当FG⊥x轴时，F(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)∴P(2，-

2

2

)
∴直线AP：y=-

2

x+

3 2

2

∴AP过定点M(

3

2

，0)（7分）
②当FG与x轴不垂直时
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（2，y₂），设直线FG方程为y=k（x-1）
当k=0时直线FG显然过M(

3

2

，0)（8分）
当k≠0时，

FM

=(

3

2

-x1，-y1)，

PM

=(-

1

2

，-y2)（9分）
∴(

3

2

-x1)•(-y2)-(-y1)•(-

1

2

)=x1y2-

3

2

y2-

1

2

y1=(

y1

k

+1)y2-

3

2

y2-

1

2

y1=

y1y2

k

-

y1+y2

2

（11分）
由

y=k(x-1) x2+2y2=2

得（1+2k²）y²+2ky-k²=0
∴y1+y2=

-2k

1+2k2

，y1y2=

-k2

1+2k2

（12分）
∴(

3

2

-x1)•(-y2)-(-y1)•(-

1

2

)=

-k

1+2k2

+

k

1+2k2

=0（13分）
∴

FM

∥

PM

∴此时直线FG也过(

3

2

，0)
∴直线FG必过定点(

3

2

，0)．（14分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论方法的合理运用．