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已知函数f(x)=
1
2
x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A、m≥
3
2
B、m>
3
2
C、m≤
3
2
D、m<
3
2
分析:要找m的取值使f(x)+9≥0恒成立,思路是求出f′(x)并令其等于零找出函数的驻点,得到函数f(x)的最小值,使最小值大于等于-9即可求出m的取值范围.
解答:解:因为函数f(x)=
1
2
x4-2x3+3m,所以f′(x)=2x3-6x2
令f′(x)=0得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-
27
2

不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,
所以3m-
27
2
≥-9,解得m≥
3
2

故答案选A.
点评:考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),则实数x的取值范围是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,则f[f(π)]=(  )

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1-x
ax
+lnx(a>0)

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(2)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证对任意大于1的正整数n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
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