Question

曲线C上的点P到定点N（2，0）的距离与到直线x=-2的距离相等．
（Ⅰ）求点P的轨迹C方程；
（Ⅱ）过点E（8，0）的直线交曲线C于两点A、B，求证：∠AOB=90°（O是坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义可得曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等的点的轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线，从而可求
（Ⅱ）设直线为x=my+8，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得结果，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等，
∴轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线
标准方程为：y²=8x
（II）设过E（8，0）的直线为x=my+8，代入抛物线得y²-8my-64=0，
设直线与抛物线交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

(y1y2)2

64

-64=0，即OA⊥OB．
∴∠AOB=90°．

点评：本题主要考查了利用抛物线的定义求解抛物线的方程，解题（I）的关键是灵活应用抛物线的定义，还考查的直线与抛物线的相交的问题，常见的处理方法是联立方程，根据方程的根满足的关系．