Question

5．某环线地铁按内、外环线同时运动，内、外环线的长度均为35千米（忽略内、外环线长度差异）．
（1）当14列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客候车时间不超过6分钟，求内环境列车的最小平均速度为多少千米/小时？
（2）新调整的运行方案要求内环线列车平均速度为30千米/小时，外环线列车平均速度为35千米/小时．现内、外环线共有28列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客候车时间之差的绝对值不超过0.5分钟，试问：内、外环线应投入几列列车运行？

Answer 1

分析 （1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得$\frac{35}{14v}×60≤6$，从而可求内环线列车的最小平均速度；
（2）内环线投入x列列车运行，则外环线投入（28-x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t₁，t₂分钟，t₁=$\frac{35}{30x}×60=\frac{70}{x}$，t₂=$\frac{35}{35（28-x）}×60=\frac{60}{28-x}$，|t₁-t₂|=|$\frac{70}{x}-\frac{60}{28-x}$|≤0.5，解不等式，即可求得结论．

解答 解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得$\frac{35}{14v}×60≤6$，∴v≥25
∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是25千米/小时；
（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（28-x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t₁，t₂分钟，
t₁=$\frac{35}{30x}×60=\frac{70}{x}$，t₂=$\frac{35}{35（28-x）}×60=\frac{60}{28-x}$
∴|t₁-t₂|=|$\frac{70}{x}-\frac{60}{28-x}$|≤0.5，⇒x²+232x-3920≤0且x²-288x+3920≤0，∴$\frac{288-\sqrt{67264}}{2}≤x≤\frac{-232+\sqrt{69504}}{2}$
∵x∈N₊，∴x=15
∴当内环线投入15列列车运行，外环线投入13列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过0.5分钟．

点评 本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间．属于中档题．