Question

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得 sinA+subB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（Ⅰ） 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

；
（Ⅱ）求值：sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

Answer 1

分析：（Ⅰ）把两角和的余项公式减去两角差的余项公式，再把α+β=A，α-β=B代入化简可得结论．
（Ⅱ）利用半角公式以及积化和差公式化简要求的式子，即可求得结果．

解答：解 （Ⅰ）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，------②…（1分）
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．------③…（2分）
令α+β=A，α-β=B，有 α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，
代入③得 cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

．…（5分）
（Ⅱ）sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=1+

1

2

（cos100°-cos40°）+

1

2

（sin70°-sin30°）…（8分）
=1-sin70°sin30°+

1

2

sin70°-

1

2

sin30°=

3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的积化和差与和差化积公式的证明，半角公式的应用，属于中档题．