Question

【题目】等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

(2)求

【答案】（1）an＝2n＋1，bn＝8n－1.（2）

【解析】

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题设条件建立方程组，解方程组得到d和q的值，从而求出an与bn；（2）由Sn=n（n+2），知，由此可求出的值．

(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，

an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，

依题意有，

解得或 (舍去)．

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝ (1－＋－＋－＋…＋－)

＝ (1＋－－)

＝－.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；

(2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)＝为首项，公比为的等比数列求出；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．

(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]

＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

∴当n≥2时，＝.

又f(1)＝，

∴数列{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

(2)证明：由(1)可知，

an＝n·()n＝n·，

设Sn＝a1＋a2＋…＋an，

则Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－n·

＝－＝1－－，

∴Sn＝2－－<2.

即a1＋a2＋…＋an<2.