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【题目】已知椭圆的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线过椭圆的左端点A与椭圆的另一个交点为B.,AB的垂直平分线交轴于点,且·=4,求的值.

【答案】(1) (2)y0±2y0±.

【解析】试题分析:1)由离心率求得ac的关系,进而根据c2=a2﹣b2求得ab的关系,进而根据菱形的面积公式,求得ab,则椭圆的方程可得.

2)由(1)可求得A点的坐标,设出点B的坐标和直线l的斜率,表示出直线l的方程与椭圆方程联立,消去y,由韦达定理求得点B的横坐标的表达式,进而利用直线方程求得其纵坐标表达式,表示出|AB|进而求得k,则直线的斜率可得.设线段AB的中点为M,当k=0时点B的坐标是(20),线段AB的垂直平分线为y轴,进而根据,求得y0;当k0时,可表示出线段AB的垂直平分线方程,令x=0得到y0的表达式根据,,求得y0

试题解析:

(1)由e=,得3a24c2.再由c2a2b2,得a=2b.

由题意可知×2a×2b=4,即ab=2.解方程组得a=2,b=1.

所以椭圆的方程为.

(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为,直线的斜率为,则直线的方程.于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去y并整理,得.

,得.从而.

设线段AB的中点为M,则M的坐标为

以下分两种情况:

①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是(2,-y0)

(2,-y0).由·=4,得y0±2.

②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为

令x=0,解得

(2,-y0) (x1y1y0)

·=-2x1y0(y1y0)

整理得7k2=2,故k±.所以y0±.综上,y0±2y0±.

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