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    （2012•武汉模拟）如图，已知椭圆Γ：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足
    PM
    •
    MF2
    =0，|
    MF2
    |≠0．
    （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
    （Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）
    分析：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．分类讨论，当|
    PM
    |=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上，当|
    PM
    |≠0且|
    MF2
    |≠0时，由
    PM
    •
    MF2
    =0，得
    PM
    ⊥
    MF2
    ，从而可值M为线段F2Q的中点，进而可求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
    由
    y=kx+m
    x2+y2=a2
    消去y并整理，利用韦达定理及直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可求直线方程，从而可求△OAB面积，进而可得△OAB面积的取值范围；
    （Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，
    1
    2
    ab）．”
    解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
    当|
    PM
    |=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上．
    当|
    PM
    |≠0且|
    MF2
    |≠0时，由
    PM
    •
    MF2
    =0，得
    PM
    ⊥
    MF2
    ．
    又|
    PQ
    |=|
    PF2
    |（如图），所以M为线段F2Q的中点．
    在△QF1F2中，|
    OM
    |=
    1
    2
    |F1Q|=a，所以有x2+y2=a2．
    综上所述，点M的轨迹C的方程是x2+y2=a2．…（4分）
    （Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
    故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
    由
    y=kx+m
    x2+y2=a2
    消去y并整理，得
    （1+k2）x2+2kmx+m2-a2=0，
    则△=4k2m2-4（1+k2）（m2-a2）=4（k2a2+a2-m2）＞0，
    且x1+x2=
    -2km
    1+k2
    ，x1x2=
    m2-a2
    1+k2
    ．
    ∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．
    ∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，
    ∴
    y1
    x1
    •
    y2 
    x2
    =
    k2x1x2+km(x1+x2)+m2
    x1x2
    =k2，
    即
    -2k2m2
    1+k2
    +m2=0，又m≠0，
    ∴k2=1，即k=±1．
    设点O到直线l的距离为d，则d=
    |m|
    		k2+1
    ，
    ∴S△OAB=
    1
    2
    |AB|d=
    1
    2
    		1+k2
    |x1-x2|•
    |m|
    		k2+1

    =
    1
    2
    |x1-x2||m|=
    1
    2
    		m2(2a2-m2)
    ．
    由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2a2且m2≠a2，
    ∴0＜
    		m2(2a2-m2)
    ＜
    m2+(2a2-m2)
    2
    =a2．
    故△OAB面积的取值范围为（0，
    1
    2
    a2）．…（10分）
    （Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，
    1
    2
    ab）．”…（13分）
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查求三角形的面积，考查类比思想，解题的关键是挖掘隐含条件，正确表示三角形的面积，属于中档题．
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    907    966    191    925    271    932    812    458    569    683
    431    257    393    027    556    488    730    113    537    989
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    -
    y2
    20
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    17
    ．

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    lnx
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    2+n
    n
    )＜
    2+n
    n
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    1
    5
    ，
    3
    5
    ）
    （
    1
    5
    ，
    3
    5
    ）
    ．

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