Question

16．在△ABC中，2asinA=（2sinB-$\sqrt{3}$sinC）b+（2sinC-$\sqrt{3}$sinB）c．
（1）求∠A；
（2）若a=2，b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，代入已知等式整理可得：a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，结合余弦定理可得cosA的值，结合范围0＜A＜π，
即可求得A的值．
（2）由正弦定理可得sinB，结合B范围解得B，由三角形内角和定理可求C的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵由正弦定理可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
∴2asinA=（2sinB-$\sqrt{3}$sinC）b+（2sinC-$\sqrt{3}$sinB）c．
⇒2a$\frac{a}{2R}$=（2$\frac{b}{2R}$-$\sqrt{3}$$\frac{c}{2R}$）b+（2$\frac{c}{2R}$-$\sqrt{3}$$\frac{b}{2R}$）c．
⇒a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc．
∴结合余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴解得：A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{6}$．
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴解得：B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查．