Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l₁过椭圆C的右焦点F₂交C于 M，N两点，点Q为直线l₂：x=2上的点，且F₂Q⊥l₁，记直线MN与直线 OQ（O为原点）的交点为K，证明：MK=NK．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）设直线MN的方程为：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（2+m²）y²+2my-1=0，可得y₁+y₂．可得线段MN的中点坐标．由F₂Q⊥l₁，可得直线F₂Q的方程为y=-m（x-1），可得Q与直线OQ的方程，只要证明线段MN的中点坐标满足上述方程即可．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b=c=1．∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线MN的方程为：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（2+m²）y²+2my-1=0，y₁+y₂=$\frac{-2m}{2+{m}^{2}}$．
∴线段MN的中点坐标为$（\frac{2}{2+{m}^{2}}，\frac{-m}{2+{m}^{2}}）$．
∵F₂Q⊥l₁，∴直线F₂Q的方程为y=-m（x-1），
∴Q（2，-m），
∴直线OQ的方程为：y=-$\frac{m}{2}$x，
∵线段MN的中点坐标$（\frac{2}{2+{m}^{2}}，\frac{-m}{2+{m}^{2}}）$满足上述方程．
∴MK=KN．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．