Question

【题目】已知平面内的动点P到定直线l：x＝的距离与点P到定点F(，0)之比为.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？

Answer 1

【答案】(1) (2) k1·k2＝－

【解析】试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－证明原式．

试题解析：

(1)设点P(x，y)，依题意，有＝.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.

(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，

＋＝1，＋＝1.k1·k2＝·＝＝＝－，为定值．