Question

设直线l：x-y+m=0与抛物线C：y²=4x交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．
（1）求△ABF的重心G的轨迹方程；
（2）如果m=-2，求△ABF的外接圆的方程．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（1，0），重心G（x，y），
联立直线与抛物线，可得，消元可得y²-4y+4m=0
∴△＞0?m＜1且m≠-1（因为A、B、F不共线）
故
∴重心G的轨迹方程为（6分）
（2）m=-2，则y²-4y-8=0，设AB中点为（x₀，y₀）
∴，∴x₀=y₀-m=2-m=4
∴AB的中垂线方程为x+y-6=0
令△ABF外接圆圆心为C（a，6-a）
又，C到AB的距离为
∴
∴，∴
∴所求的圆的方程为（7分）
分析：（1）设出A、B、G的坐标，联立直线与抛物线，利用重心坐标公式，即可求得重心G的轨迹方程；
（2）确定AB的中垂线方程为x+y-6=0，令△ABF外接圆圆心为C（a，6-a），求出弦AB的长，C到AB的距离，利用|CA|=|CF|，即可求得圆心坐标与半径，从而可得△ABF的外接圆的方程．
点评：本题考查轨迹方程，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，属于中档题．