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7.下列命题中正确的个数是(  )
①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b;
④如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥γ
A.0个B.1个C.2个D.3个

分析 逐一分析各个命题,通过举反例、排除、筛选,得到正确的命题.

解答 解:对于①,若一个几何体有两个面平行且其余各面都是平行四边形,
可用两个棱柱叠加来说明此命题不成立,此可得①不正确;
对于②,直线与平面相交时,它们有唯一公共点,除此点外其它的点都不在平面内,
故直线有无数个点不在平面内,则直线不一定与该平面平行,故②不正确.
对于③,a和b平行、相交、或者是异面直线,故③不正确.
对于④,如果2个平面都垂直于第三个平面,那么这2个平面的交线也垂直于第三个平面,故④正确.
故选:B.

点评 本题给出关于空间位置的几个命题,要求找出其中的真命题的个数,着重考查了空间直线与直线、直线与平面的位置关系和棱柱的定义与性质等知识,属于基础题.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.已知角α的终边落在直线y=-2x上,则tanα的值为(  )
A.2B.-2C.±2D.$\frac{1}{2}$

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18.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$,且点P在圆x2+y2=$\frac{9}{4}$上.
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(2)过点T(m,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B、C、D四点,且M、N分别为线段AB、CD的中点,求△TMN的面积最小值.

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15.已知当n∈N*时,Tn=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$,Sn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$.
(1)求S1,S2,T1,T2
(2)猜想Sn与Tn的大小关系,并用数学归纳法证明.

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2.如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=a,AC=$\sqrt{2}$a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC.
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12.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥CD,PA=2,PD=2$\sqrt{2}$,E为PD上的一点,且PE=3ED.
(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D-AC-E的正切值;
(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC?若存在,求出PF的长度,并证明;若不存在,说明理由.

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19.设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*),a1=1.
(1)求证:数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}为等比数列,并求an
(2)设数列{bn}满足bn(3n-an)=$\frac{n+2}{n(n+1)}$,数列{bn}的前n项和为Tn,求证;Tn<1.

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16.“-4≤b≤0”是“函数f(x)=x2+2x-b-3(-3≤x≤2)有两个零点”的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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17.在区间[-1,2]上随机取一个数,则-1<2sin$\frac{πx}{4}$<$\sqrt{2}$的概率为(  )
A.$\frac{5}{6}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{5}{9}$D.$\frac{1}{2}$

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