Question

3．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，那么$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$成立吗？

Answer 1

分析 分别在△ACD、△ABD中根据正弦定理列式，再将所得的式子相除并利用比例的性质，可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$成立．

解答 解：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，那么$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$成立理由如下：

设∠CAD=∠DAE=β，
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{DC}{sinβ}$=$\frac{AC}{sin∠D}$…①，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AB}{sin∠D}$，即$\frac{BD}{sin∠β}$=$\frac{AB}{sin∠D}$，…②，
②÷①可得 $\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，
结论成立

点评 本题考查了利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题