Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx）
（1）当x∈[

π

2

，

9π

8

]时，求函数f（x）=2

a

•

b

+1的最大值．
（2）设f（x）=2

a

•

b

+1，将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

（1）函数f（x）=2

a

•

b

+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos²x-1 ）
=sin2x-cos 2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，∴

3π

4

≤2x-

π

4

≤2π，∴-1≤sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴当 2x-

π

4

=

3π

4

，即 x=

π

2

时，函数f（x）有最大值为

2

 ×

2

2

=1．
（2）由题意得，f（x）=

2

 sin（2x-

π

4

）的图象向右平移

π

6

个单位后得到，
y=

2

sin[2（x-

π

6

）-

π

4

]=

2

 sin[2x-

7π

12

]，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到g（x）=

2

 sin[

1

4

•2x-

7π

12

]=

2

 sin（

x

2

-

7π

12

）．
由2kπ+

π

2

≤（

x

2

-

7π

12

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，4kπ+

13π

6

≤x≤4kπ+

25π

6

，
故g（x）的单调递减区间为（ 4kπ+

13π

6

，4kπ+

25π

6

 ），k∈z．