Question

设O为坐标原点，曲线x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程．

Answer 1

(1)曲线方程为(x＋1)²＋(y－3)²＝9表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
∴圆心(－1,3)在直线上．代入得m＝－1.
(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
∴设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，PQ方程为y＝－x＋b.
将直线y＝－x＋b代入圆方程，
得2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0.
Δ＝4(4－b)²－4×2×(b²－6b＋1)>0，
得2－3<b<2＋3.
由韦达定理得x₁＋x₂＝－(4－b)，x₁·x₂＝.
y₁·y₂＝b²－b(x₁＋x₂)＋x₁·x₂＝＋4b.
∵·＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，即b²－6b＋1＋4b＝0.
解得b＝1∈(2－3，2＋3)．
故所求的直线方程为y＝－x＋1.  

略