Question

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）解法一：（几何法）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大小；
解法二：（向量法）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面MAC的一个法向量为

n

=(x1，y1，z1)，平面ABC的法向量取为

m

=(0，0，1)，利用cosθ=

m • n

| m |•| n |

，解答即可．

解答：证明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC…（5分）
（2）解法一：（几何法）
取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
从而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，
从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角
直线AM与直线PC所成的角为60⁰
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos120°

=

3

；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

×

3

3

=1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×

3

2

=

3

2

；
在△MNH中，MN=tan∠MHN=

MN

NH

=

1

3 2

=

2 3

3

；
则cos∠MHN=

1 1+tan2∠MHN

=

21

7

解法二：（向量法）
在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）…（6分）
由题意有A(

3

2

，-

1

2

，0)，设P（0，0，z₀）（z₀＞0），
则M(0，1，z0)，

AM

=(-

3

2

，

3

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)
由直线AM与直线PC所成的解为60⁰，得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos600，即z02=

1

2

z02+3

•z0，
解得z₀=1…（8分）
∴

CM

=(0，1，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
设平面MAC的一个法向量为

n

=(x1，y1，z1)，
则

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

，
取x₁=1，得

n

=(1，

3

，-

3

)…（9分）
平面ABC的法向量取为

m

=(0，0，1)…（10分）
设

m

与

n

所成的角为θ，则cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

3

7

…（11分）
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为

21

7

…（12分）

点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．