Question

（2012•梅州二模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
（2）数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）（n=1，2，3，…），求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（0）=1，可以退出当x∈R时，f（x）＞0．设x₁＜x₂，计算 f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x）是定义域上的增函数．
（2）由数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）=f[（aa_n）+（a-1）]，由f（x）是定义域R上的增函数，可得 a_n+1+1=a（a_n +1），故{a_n +1}是以a+1为首项，以a为公比的等比数列．求出{a_n +1}的通项公式可得{a_n }的通项公式，从而求得{a_n }的前n项和s_n．

解答：解：（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（1）=f（1）f（0）．再由f（1）＞1，可得f（0）=1．
当x＜0时，f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）=1，由-x＞0 可得f（-x）＞1，f（x）=

1

f(-x)

∈（0，1）．
当x＞0时，同理可得f（x）＞0．  综上可得，当x∈R时，f（x）＞0．
设x₁＜x₂，则 f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]．
由x₁-x₂＜0，x＜0时，0＜f（x）＜1，可得  f（x₁-x₂）-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）是定义域上的增函数．
（2）数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）=f[（aa_n）+（a-1）]，
由f（x）是定义域R上的增函数，可得a_n+1=aa_n +a-1，即a_n+1+1=a（a_n +1），故{a_n +1}是以a+1为首项，以a为公比的等比数列．
故 a_n +1=（a+1）a^n-1，故 a_n =（a+1）a^n-1-1．
故{a_n }的前n项和s_n=（a+1）（1+a+a²+a³+…+a^n-1）-n=

na  ， a=1 (a+1)(1-an) 1-a   ，  a≠1

．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．