Question

12．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点坐标为F（-$\frac{1}{2}$，0），且已知点M（-2，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线l交抛物线C于P，Q两点，且∠PMQ=90°，问直线l是否过定点，若是，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0），利用焦点坐标为F（-$\frac{1}{2}$，0），求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设l：ay=x+b代入y²=-2x，可得y²+2ay-2b=0，利用韦达定理，结合∠PMQ=90°，PM⊥QM，可得b=4-2a，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0），则
∵焦点坐标为F（-$\frac{1}{2}$，0），
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，
∴抛物线C的方程为y²=-2x；
（Ⅱ）设l：ay=x+b，设P（-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），Q（-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），
ay=x+b，代入y²=-2x，可得y²+2ay-2b=0，
∴y₁+y₂=-2a，y₁y₂=-2b，
∵∠PMQ=90°，∴PM⊥QM，
∴（y₁+2）（y₂+2）=-4
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+4═-4
∴b=4-2a，
∴ay=x+4-2a，∴过定点（-4，-2）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．