Question

已知定圆A：（x+

3

）²+y²=16，圆心为A，动圆M过点B（

3

，0），且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点P（x₀，y₀）为曲线C上一点，探究直线l：x₀+4y₀y-4=0与曲线C是否存在交点？若存在则求出交点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）依据条件判断定圆和动圆相内切，再依据椭圆的定义写出曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，y₀=0时，x₀=±2；当y₀≠0时，直线l：y=

4-x0x

4y0

代入椭圆方程，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ） 圆A的圆心为A（-

3

，0），半径r₁=4，
设动圆M的圆心M（x，y），半径为r₂，依题意有，r₂=|MB|． …（2分）
由|AB|=2

3

，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r₁-r₂，
即|MA|+|MB|=4，…（4分）
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a=4，2c=2

3

，可得a²=4，b²=1．
故曲线C的方程为

x2

4

+y²=1；        …（6分）
（Ⅱ）当y₀=0时，x₀=±2，x₀=2时，直线l：x₀+4y₀y-4=0与曲线C有且只有一个交点（2，0）；x₀=-2时，直线l：x₀+4y₀y-4=0与曲线C有且只有一个交点（-2，0）；
当y₀≠0时，直线l：y=

4-x0x

4y0

代入椭圆方程消去y，得（4y₀²+x₀²）x²-8x₀x+16-16y₀²=0  ①…（10分）
由点P（x₀，y₀）为曲线C上一点，得4y₀²+x₀²=4
于是方程①可以化简为x²-2x₀x+x₀²=0解得x=x₀，…（12分）
代入y=

4-x0x

4y0

解得y=y₀，故直线l：x₀+4y₀y-4=0与曲线C有且只有一个交点P（x₀，y₀）
综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为P（x₀，y₀）．…（13分）

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质及运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，考查运算能力，属于中档题．