Question

F是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B．若2

AF

=

FB

，则C的离心率是（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  2 3

  3

• D、

  14

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设一渐近线OA的方程为y=

b

a

x，设A（m，

b

a

m），B（n，-

bn

a

），由 2

AF

=

FB

，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于-1，求出a²=3b²，代入e=

c

a

=

a2+b2

a

进行运算．

解答： 解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=

b

a

x，
则另一渐近线OB的方程为 y=-

b

a

x，
设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），
∵2

AF

=

FB

，
∴2（c-m，-

bm

a

）=（n-c，-

bn

a

），
∴2（c-m）=n-c，-

2bm

a

=-

bn

a

，
∴m=

3

4

c，n=

3c

2

，
∴A（

3c

4

，

3bc

4a

 ）．
由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即

3bc 4a -0

3c 4 -c

•

b

a

=-1，
∴a²=3b²，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2 3

3

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．