Question

已知数列a_n的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若数列a_n是等比数列，满足2a₁+a₃=3a₂，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列a_nn∈N^*，使对任意n∈N^*都有an•Sn=2n2(n+1)？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知条件列方程组求出首项和公比，则等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{a_n}，设出公差后写出通项公式和前n项和公式，代入an•Sn=2n2(n+1)，展开后由等式两边的系数相等列方程组求出首项和公差，即可说明存在等差数列{a_n}，使对任意n∈N^*都有an•Sn=2n2(n+1)．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
以题意，有

2a1+a3=3a2 a2+a4=2(a3+2)

，即

a1(2+q2)=3a1q          (1) a1(q+q3)=2a1q2+4  (2)

由（1）得：q²-3q+2=0，解得q=1或q=2．
当q=1时，不合题意；
当q=2时，代入（2）得a₁=2，所以an=a1qn-1=2•2n-1=2n；
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{a_n}，设此数列的公差为d，
则[a1+(n-1)d][na1+

n(n-1)d

2

]=2n2(n+1)，
得：

d2

2

n2+(

3

2

a1d-d2)n+(a12-

3

2

a1d+

1

2

d2)=2n2+2n对n∈N^*恒成立，
则

d2 2 =2 3 2 a1d-d2=2 a12- 3 2 a1d+ 1 2 d2=0

，
解得：

d=2 a1=2

或

d=-2 a1=-2

．
当a₁=2，d=2时，a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
当a₁=-2，d=-2时，a_n=a₁+（n-1）d=-2-2（n-1）=-2n．
故存在等差数列{a_n}，使对任意n∈N^*都有an•Sn=2n2(n+1)，其中a_n=2n或a_n=-2n．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，训练了比较系数法求参数的值，考查了学生的计算能力，属中低档题．