Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．

（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．

Answer 1

【答案】（1），n∈N*；（2）11

【解析】

（1）易求得=1,由题意，所以，两个式子做差变形可得递推关系式。根据等比数列的定义可得结论，利用等比数列通项公式可求得an。（2）bn是一个等比数列与一个等差数列相乘的形式，利用错位相减可求得其前n项和。再通过构造新数列以及其增减性得出满足不等式的最小n值。

（1）证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，

∴当n≥2时，Sn-1+n-1=2an-1，两式相减得：an+1=2an-2an-1，即an=2an-1+1，

∴an+1=2（an-1+1），∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，则，n∈N*；

（2）∵，

∴，

∴，

两式相减得：，

∴，由，得，

设，∵＞0，∴数列{cn}为递增数列，

∵，，

∴满足不等式的n的最小值为11．