Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．

（1）求证：BABM=BCBN；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接MN，

则∠BMN=90°=∠ACB，

∴△ACB∽△NMB，

∴ ，

∴ABBM=BCBN

（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，

∵N为OC中点，

∴MN=ON=OM，

∴∠MON=60°，

∵OM=OB，

∴∠B= ∠MON=30°，

∵∠ACB=90°，

∴AB=2AC=2×3=6．

【解析】（1）连接MN，构造一个直角三角形．即可把证明的线段放到两个直角三角形中，根据相似三角形的判定和性质进行证明；（2）连接OM，根据切线的性质得到直角△COM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到MN等于圆的半径，从而发现等边三角形OMN，再根据圆周角定理得到∠B=30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求得AB的长．
【考点精析】关于本题考查的一般形式的柯西不等式，需要了解一般形式的柯西不等式：才能得出正确答案．