Question

3．设数列{a_n}满足：a₁=1，3a₂-a₁=1，且$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$（n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b₁=$\frac{1}{2}$，4b_n=a_n-1a_n，设{b_n}的前n项和T_n．证明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\frac{2}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}$，从而推导出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用错位相减法能证明T_n＜1．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足：a₁=1，3a₂-a₁=1，且$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$（n≥2），
∴$\frac{2}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}$，…（1分）
又a₁=1，3a₂-a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1，\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，…（5分）
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）=\frac{1}{2}（n+1）$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．…（7分）
（Ⅱ）证明：∵数列b₁=$\frac{1}{2}$，4b_n=a_n-1a_n，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$1-\frac{1}{n+1}$＜1．
故T_n＜1．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．