练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在△ABC中，若
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b‘

    （1）若D为BC上的点，且
    BD
    =t
    BC
    ，求证：
    AD
    =（1-t）
    a
    +t
    b
    ；
    （2）若P，Q是线段BC的三等分点，试证：
    AP
    +
    AQ
    =
    a
    +
    b
    ；
    （3）若P，Q，S是线段BC的四等分点，试证：
    AP
    +
    AQ
    +
    AS
    =
    3
    2
    (
    a
    +
    b
    )
    （4）如果A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？并加以证明．（注：1+2+3+…+n=
    n(n+1)
    2
    ）
    考点：线段的定比分点,平面向量的基本定理及其意义
    专题：平面向量及应用
    分析：（1）画出图形，结合图形，根据向量的加减法运算法则，得出
    AD
    的向量表示；
    （2）当P，Q是线段BC的三等分点时，利用平行四边形法则，得出
    AP
    +
    AQ
    =
    AB
    +
    AC
    =
    a
    +
    b
    ；
    （3）当P，Q，S是线段BC的四等分点时，根据向量的合成法则，得出
    AB
    +
    AC
    =
    AP
    +
    AS
    =2
    AQ
    ，从而得出结论；
    （4）当A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点时，得出
    AA1
    +
    AA2
    +
    AA3
    +…+
    AAn-1
    =
    n-1
    2
    （
    a
    +
    b
    ）；
    结合图形，利用向量的加减运算，证明即可．
    解答： 解：（1）△ABC中，
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b‘
    ，D为BC上的点，且
    BD
    =t
    BC
    ，
    如图1所示：

    ∴
    AD
    =
    AB
    +
    BD
    =
    AB
    +t
    BC
    =
    AB
    +t（
    AC
    -
    AB
    ）=（1-t）
    AB
    +t
    AC
    =（1-t）
    a
    +t
    b
    ；
    （2）当P，Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，交BC于O点，
    连接PD，QD，如图2所示：

    则
    AB
    +
    AC
    =
    AD
    ，
    ∵OB=OC，BP=CQ=
    1
    3
    BC，
    ∴OP=OQ，且OA=OD，
    ∴四边形ABDC是平行四边形，
    ∴
    AP
    +
    AQ
    =
    AD
    =
    AB
    +
    AC
    =
    a
    +
    b
    ；
    （3）当P，Q，S是线段BC的四等分点时，如图3所示：

    则Q是BC的中点，
    AB
    +
    AC
    =
    AP
    +
    AS
    =2
    AQ

    ∴
    AP
    +
    AQ
    +
    AS
    =
    3
    2
    （
    AB
    +
    AC
    ）=
    3
    2
    （
    a
    +
    b
    ）
    （4）当A1，A2，A3，…An-1是线段BC的n（n≥3）等分点时，
    AA1
    +
    AA2
    +
    AA3
    +…+
    AAn-1
    =
    n-1
    2
    （
    a
    +
    b
    ）；如图所示：
    ：
    证明如下，∵
    AA1
    =
    BA1
    -
    BA
    =
    AB
    -
    A1B
    =
    AB
    -
    1
    n
    CB
    ，
    AA2
    =
    AB
    -
    A2B
    =
    AB
    -
    2
    n
    CB
    ，…，
    同理
    AAn-1
    =
    AB
    -
    n-1
    n
    CB
    ，
    ∴
    AA1
    +
    AA2
    +…+
    AAn-1
    =（n-1）
    AB
    -（
    1
    n
    +
    2
    n
    +..+
    n-1
    n
    ）
    CB

    =（n-1）
    AB
    -
    n(n-1)
    2
    •
    1
    n
    CB

    =（n-1）
    AB
    -
    n-1
    2
    （
    AB
    -
    AC
    ）
    =
    n-1
    2
    （
    AB
    +
    AC
    ）
    =
    n-1
    2
    （
    a
    +
    b
    ）．
    点评：本题考查了平面向量的加减运算的几何意义，也考查了类比推理的应用问题，是综合性题目．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（9）=（　　）
    A、1B、3C、9D、81

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列双曲线中，渐近线方程是y=±
    3
    2
    x的是（　　）
    A、
    x2
    3
    -
    y2
    2
    =1
    B、
    x2
    4
    -
    y2
    9
    =1
    C、
    y2
    3
    -
    x2
    2
    =1
    D、
    y2
    4
    -
    x2
    9
    =1

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    某班级2014年元旦迎新有奖活动中有一节目，投掷一个各面分别有数字1，2，3，4，且质地均匀的小正四面体，记其底面的数字为投掷的点数，规定：参与者连续投掷三次，投出的点数全部一样，或只含有1、3，或只含有2、4，则获奖，如“4，4，4”，“1，1，3”，“2，2，4”等情形获奖，每人仅限参与节目一次．
    （1）求参与者甲获奖的概率；
    （2）获奖一次得到奖金10元，否则得到1元，求参与者甲、乙、丙三人总共获得的奖金ξ的分布列与数学期望．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知b2=ac，且cosB=
    3
    4
    ，求cosA+cosC的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）．
    （Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数的单调递增区间；
    （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面积为
    		3
    ，求边长a的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    		3
    sin(2x-
    π
    6
    )    ，若f（
    α
    2
    ）=
    		3
    4
    （
    π
    6
    ＜α＜
    2π
    3
    ），求cos（α+
    3π
    2
    ）的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（　　）
    A、钝角三角形B、直角三角形
    C、锐角三角形D、不能确定

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知命题p：?x∈R，使sinx0=
    		5
    2
    ；命题q：?x∈R，都有x2+2x+3＞0．给出下列结论：
    ①命题：“p且q”是真命题
    ②命题“p且（￢q）”是假命题
    ③命题：“（￢P）或q”是真命题
    ④命题：“（￢p）或（￢q）”是假命题
    其中正确的是（　　）
    A、②④B、②③C、③④D、①②③

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案