Question

（2013•徐州一模）选修：4-2：矩阵与变换
若圆C：x²+y²=1在矩阵A=

a，0 0，b

（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值，从而得到矩阵A，再代入逆矩阵的公式，求出结果．

解答：解：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），
则 

x′′ y′′

=

a 0 0 b

x′ y′

，即

x′=ax y′=by

…（4分）
又因为点P'（x'，y'）在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1．
由已知条件可知，x²+y²=1，所以 a²=4，b²=3．
因为 a＞0，b＞0，
所以 a=2，b=

3

． …（10分）
∴A=

2 0 0 3

，
∴根据A=

a b c d

的逆矩阵A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

，
∴矩阵A的逆矩阵A^-1=

1 2 0 0 3 3

．

点评：本题主要考查了特殊矩阵的变换、逆变换与逆矩阵，同时考查了计算能力，属于基础题．