Question

已知函数f(x)=

x

x-1

．
（Ⅰ）求f（1+x）+f（1-x）的值；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的解析式代入计算即可；
（Ⅱ）用函数的单调性定义证明，基本步骤是取值、作差、判正负、下结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

x-1

，x≠1；
∴f(1+x)+f(1-x)=

1+x

1+x-1

+

1-x

1-x-1

=

1+x

x

-

1-x

x

=2；
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂是（1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
∴f(x2)-f(x1)=

x2

x2-1

-

x1

x1-1

=

x2(x1-1)-x1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

；
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0；
∴

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0；
即f（x₂）＜f（x₁）；
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了由函数解析式求函数的值以及利用定义判定函数的单调性问题，是基础题．