Question

已知函数f（x）=

ax

x2-1

（a为常数且a≠0），定义域为（-1，1）
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）若a=1，试判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义证明函数f（x）是奇函数；
（2）利用导数判断函数的单调性．

解答：解：（1）∵f（x）=

ax

x2-1

（a为常数且a≠0），定义域为（-1，1）
∴f(-x)=

-ax

x2-1

=-

ax

x2-1

=-f(x)，∴函数f（x）是奇函数．
（2）当a=1时，f（x）=

ax

x2-1

=

x

x2-1

，为单调递减函数．
证明：函数的导数为f′(x)=

x2-1-x?2x

(x2-1)2

=

-(x2+1)

(x2-1)2

，
当x∈（-1，1）时，f′(x)=

-(x2+1)

(x2-1)2

＜0，
∴函数f（x）在（-1，1）上的单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的判断和证明，利用导数是解决函数单调性比较简洁的方法．