Question

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式；
（3）当V（x）取得最大值时，求证：AD=CE．

Answer 1

分析：（1）由已知，可以证明BC⊥平面ADC，又DE∥BC得出DE⊥平面ADC，根据两个平面垂直的判定定理即可证出平面ACD⊥平面ADE；
 （2）注意到V_A-CBE=V_E-ACB，BE为高，根据勾股定理用x表示出BC，代入锥体体积公式可得V（x）的表达式
（3）在（2）的基础上，利用函数求值域、最值的方法求出x的值后，再去证明AD=CE．

解答：解：


（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE，BC∥DE---------（1分）
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．----------（2分）
∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC---------------------------------------（3分）
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE----------------（4分）
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC∴BE⊥AB，--------------------------------------------------------（5分）
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

------------（6分）
在Rt△ABC中∵BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

------------------------------------（7分）
∴V(x)=VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）-------（8分）
（3）由（2）知要V（x）取得最大值，当且仅当x

4-x2

=

x2(4-x2)

取得最大值，
∵0＜x＜2
∴x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4------------（10分）
∴当且仅当x²=4-x²，即..时，“=”成立，
即当V（x）取得最大值时AC=

2

，这时△ACB为等腰直角三角形
连接DB，∵AC=BC，DC=DC
∴Rt△DCA≌Rt△DCB------------------（12分）
∴AD=BD  又四边形BCDE为矩形
∴BD=CE
∴AD=CE------------------------------------------------------------（14分）

点评：本题考查面面垂直的判定，锥体体积公式，基本不等式法求函数最值，考查空间想象能力、转化（垂直、平行及两者之间的转化）、论证、计算能力．