Question

已知向量

a

=(cosθ，sinθ)，

b=

(cos2θ-1，sin2θ)，

c

=(cos2θ，sin2θ-

3

)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：

a

⊥

b

；
（2）设f(θ)=

a

•

c

，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，计算出向量

a

与

b

的数量，再通过三角函数公式化简得这个数量积等于零，从而得到向量

a

与向量

b

互相垂直；
（2）根据向量数量积的坐标公式，先得出f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ，再通过二倍角的三角函数公式进行化简，得到f(θ)2cos(θ+

π

3

)，最后根据θ∈（0，π），可以得出函数f（θ）的值域．

解答：解：（1）根据数量积的坐标运算公式，得

a

•

b

=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)
=-2sin²θcosθ+2sin²θcosθ=0    
所以 

a

⊥

b

（2）根据数量积的坐标运算公式，得
f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ
=cosθ-

3

sinθ=2cos(θ+

π

3

)
∴θ∈（0，π），
∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

4π

3

，
∴f（θ）的值域为：[-2，1）．

点评：本题着重考查了平面向量的数量积和三角函数的综合，属于中档题．准确运用向量数量积的公式和三角函数有关公式结合三角函数的图象与性质，是解决本题的关键．