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经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水果批发市场.据测算,J型卡车满载行驶时,每100km所消耗的燃油量u(单位:L)与速度v(单位:km/h)的关系近似地满足u=
100
v
+23,0<v≤50
v2
500
+20,v>50
除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升(L)7.5元.
(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成速度v的函数关系式;
(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?
分析:(1)由题意,当0<v≤50时,y=7.5•
400
100
μ+300•
400
v
=
123000
v
+690
,当v>50时,y=7.5•
400
100
μ+300•
400
v
=
3v2
50
+
120000
v
+600
,由此能将y表示成速度v的函数关系式.
(2)当0<v≤50时,y=
123000
v
+690
是单调减函数,故v=50时,y取得最小值ymin=
123000
v
+690=3150
,当v>50时,y=
3v2
50
+
120000
v
+600
,由导数求得当v=100时,y取得最小值ymin=
1002
50
+
120000
100
+600=2400,由于3150>2400,知当卡车以100km/h的速度行驶时,运送这车水果的费用最少.
解答:解:(1)由题意,当0<v≤50时,
y=7.5•
400
100
μ+300•
400
v

=30•(
100
v
+23)+300•
400
v

=
123000
v
+690

当v>50时,y=7.5•
400
100
μ+300•
400
v

=30(
v2
500
+20)+300•
40
v

=
3v2
50
+
120000
v
+600

y=
123000
v
+690,0<v≤50
3v2
50
+
120000
v
+600,v>50

(2)当0<v≤50时,
y=
123000
v
+690
是单调减函数,
故v=50时,y取得最小值ymin=
123000
v
+690=3150

当v>50时,y=
3v2
50
+
120000
v
+600

y=
3v
25
-
120000
v2
=
3( v3-10 6)
25v2
=0,
得v=100.
当50<v<100时,y′<0,
函数y=
3v2
50
+
120000
v
+600
单调递增,
∴当v=100时,y取得最小值ymin=
1002
50
+
120000
100
+600=2400,
由于3150>2400,
所以,当v=100时,y取得最小值.
答:当卡车以100km/h的速度行驶时,运送这车水果的费用最少.
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成速度v的函数关系式;

(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

 

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资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升(L)7.5元.

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