Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数与的图象有两个不同的交点，求的取值范围；

（Ⅲ）设点是函数图象上的两点，平行于的切线以为切点，求证：．

Answer 1

（I）在(0,1)上单调递减，在上单调递增．

(II)(III)略

解析:

（Ⅰ）记，则的定义域为．

当时，因，

所以在(0,1)上单调递减，在上单调递增．……4分

（Ⅱ）由．

         令．

           当时，，则单调递增，且；

           当时，，则单调递减，且．

           所以在处取到最大值．

           所以要使与有两个不同的交点，只需．…………9分

（III）由已知：，所以．

=．

设得： ．

构造函数，当时，，

所以函数在当时是增函数．

于是，时，，则，得成立．

同理，可证得成立，从而求证成立． ……………………15分